Я читаю следующие основные курсы:

1. Функциональный анализ.

2. Уравнения в частных производных.

3. Дифференциальные уравнения.

4. Математика в истории мировой культуры.

Специальные курсы:

1. Обобщенные функции.

2. Пространства Соболева.

3. Ортогональные полиномы.

4. Теория операторов.

Руковожу курсовыми работами, выпускными работами бакалавров, магистерскими диссертациями.

 

Функциональный анализ

Направление подготовки

02.03.03 Математическое обеспечение и администрирование информационных систем

Профиль бакалавриата        Математические основы информатики

 Для студентов  3 курса бакалавриата

 Форма обучения  Очная

Курс «Функциональный анализ»  – традиционная и важная часть образования математика. Функциональный анализ стал языком многих разделов математики во второй половине 20-го столетия, и знакомство с его основными идеями и методами необходимо для формирования профессионала-математика.

 Объём дисциплины:

  5 зачетных единиц, 180 академических часов, в том числе

контактная работа: лекции – 68 часов, практические занятия – 68 часов,  самостоятельная работа – 44 часа.

Перечень вопросов для подготовки к экзамену

1. Мера Лебега линейных множеств.
2. Аддитивность меры Лебега.
3. Кольцо измеримых множеств.
4. Измеримые функции и их свойства.
5. Сходимость последовательностей измеримых функций.
6. Теоремы Лузина и Егорова.
7. Интеграл Лебега. Связь интеграла Лебега с интегралом Римана.
8. Интеграл Лебега от неограниченных функций. Суммируемые функции.
9. Пространства интегрируемых функций.
10. Неравенства Гельдера и Минковского.
11. Метрические пространства.
12. Линейные нормированные пространства.
13. Линейные ограниченные операторы.
14. Обратимость линейных операторов.
15. Линейные ограниченные функционалы.
16. Теорема Хана-Банаха.
17. Гильбертовы пространства. Ортогональные системы.
18. Ряды Фурье а гильбертовых пространствах. Неравенство Бесселя.
19. Линейные ограниченные функционалы в гильбертовых пространствах.
20. Теорема Ф.Рисса о представлении линейного непрерывного функционала над гильбертовым пространством.

Литература

 основная 

1. Колмогоров А. Н., Фомин С. В. Элементы теории функций и функционального анализа, М.: ФИЗМАТЛИТ, 2004.

2. Люстерник Л.А., Соболев В.И. Краткий курс функционального анализа, М., Лань, 2009.

 дополнительная 

1. Натансон И.П. Теория функций вещественной переменной, М.: Лань, 2008.

 

УРАВНЕНИЯ С ЧАСТНЫМИ ПРОИЗВОДНЫМИ и ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ

 Направление подготовки

02.03.03 Математическое обеспечение и администрирование
 информационных систем

 Профиль подготовки     Математические основы информатики

 Для студентов 4 курса

 Форма обучени      Очная

 

Объём дисциплины:

  4 зачетных единицы, 144 академических часа, в том числе

контактная работа: лекции – 58 часов, практические занятия – 58 часов,

самостоятельная работа – 28 часов.

 

Перечень вопросов для подготовки к экзамену

1. Вывод уравнений колебаний струны, теплопроводности, Лапласа; физическая интерпретация краевых и начально-краевых задач для них.
2. Классификация уравнений второго порядка. Инвариантность типа уравнения при заменах независимых переменных.
3. Характеристики уравнений второго порядка, их инвариантность при заменах независимых переменных. Примеры характеристик для уравнений колебаний струны, теплопроводности.
4. Уравнения с частными производными первого порядка. Характеристики уравнений второго порядка в случае двух независимых переменных.
5. Приведение уравнения гиперболического типа к каноническому виду в случае двух независимых переменных.
6. Приведение уравнений параболического и эллиптического типов к каноническому виду в случае двух независимых переменных.
7. Канонический вид линейного уравнения второго порядка, приведение уравнения с постоянными коэффициентами к каноническому виду в случае n переменных.
8. Задача Коши для уравнения с частными производными. Теорема Ковалевской.
9. Волновое уравнение. Постановка для него задачи Коши и начально-краевых задач, их физический смысл.
10. Единственность решения первой и второй начально-краевых задач для волнового уравнения. Интеграл энергии.
11. Единственность решения задачи Коши для волнового уравнения.
12. Формула Даламбера (решение задачи Коши для уравнения колебаний струны).
13. Формула Кирхгоффа (решение задачи Коши для однородного волнового уравнения в трехмерном пространстве).
14. Формула Пуассона (решение задачи Коши для однородного волнового уравнения на плоскости).
15. Уравнение теплопроводности. Постановка для него задачи Коши и начально-краевых задач, их физический смысл.
16. Решение задачи Коши для уравнения теплопроводности и для волнового уравнения с аналитическими начальными условиями с помощью степенных рядов.
17. Теорема о максимуме и минимуме для однородного уравнения теплопроводности.
18. Единственность решения первой начально-краевой задачи и задачи Коши для уравнения теплопроводности.
19. Обобщенные функции: определение, d-функция, дифференцирование обобщенных функций. Обобщенное решение дифференциального уравнения, фундаментальное решение дифференциального оператора.
20. Преобразование Фурье обобщенных функций. Инвариантность пространства основных функций относительно преобразования Фурье, фурье-образ производной обобщенной функции, производная фурье-образа. Примеры: фурье-образ d-функции и ее производной.
21. Фундаментальное решение уравнения теплопроводности (вывод с помощью преобразования Фурье).
22. Свойства фундаментального решения уравнения теплопроводности.
23. Фундаментальное решение уравнения теплопроводности и решение с его помощью задачи Коши для уравнения теплопроводности.
24. Задача Штурма - Лиувилля, возникающая при решении методом Фурье начально-краевых задач. Свойства собственных чисел и собственных функций задачи Штурма - Лиувилля.
25. Решение методом Фурье начально-краевых задач для уравнений гиперболического и параболического типов (без доказательства свойств собственных чисел и функций задачи Штурма - Лиувилля).
26. Постановка краевых задач для уравнений Лапласа и Пуассона. Гармонические функции, примеры.
27. Фундаментальное решение уравнения Лапласа.
28. Гармонические функции. Интегральное представление гармонических функций.
29. Теоремы о среднем для гармонических функций.
30. Теорема о максимуме и минимуме для гармонических функций.
31. Единственность решения внутренней задачи Дирихле для уравнения Пуассона. Необходимое условие разрешимости и единственность (с точностью до аддитивной постоянной) решения внутренней задачи Неймана.
32. Решение методом Фурье краевых задач для уравнения Лапласа в круге и кольце.
33. Решение задачи Дирихле для уравнения Лапласа в 3-мерном шаре.
34. Решение задачи Дирихле для уравнения Лапласа в 2-мерном круге.
35. Существование решения внутренней задачи Дирихле для уравнения Лапласа в 2-мерной области, сведение ее к задаче в круге с помощью конформного отображения.
36. Объемный (ньютоновский) потенциал, его существование, непрерывность, гармоничность в области без зарядов. Объемный потенциал, как решение уравнения Пуассона (Лапласа).
37. Поверхностные потенциалы простого и двойного слоя, их гармоничность.
38. Поверхностные потенциалы, предельные значения поверхностного потенциала двойного слоя.

Литература

 основная 

1. Ильин А.М. Уравнения математической физики. М.: Физматлит, 2009.
2. Могилевский И.Ш., Шаров Г.С. Сборник задач по уравнениям с частными производными. Учебное пособие, Тверь, ТвГУ, 2004.

 

 дополнительная 

1. Арнольд В.И. Лекции об уравнениях с частными производными. М.: ФАЗИС. 1999.
2. Владимиров В.С. Уравнения математической физики. М.: ФИЗМАТЛИТ. 2000
3. Тихонов А.Н., Самарский А.А. Уравнения математической физики. М.: Наука. 1977.
4. Кошляков Н.С., Глинэр Э.Б., Смирнов М.М. Уравнения в частных производных математической физики. М.: Высшая школа. 1970.
5. Будак Б.М., Самарский А.А., Тихонов А.Н. Сборник задач по математической физике. М.: Наука. 1980.
6. Михлин С.Г. Линейные уравнения в частных производных. М.: Высшая школа. 1977.

 

Программное обеспечение       Пакет MATLAB.

 

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

 

Направление подготовки

02.03.03 Математическое обеспечение и администрирование
 информационных систем

 Профиль подготовки     Математические основы информатики

Для студентов 2 курса

 Форма обучения     Очная

 Уровень высшего образования      БАКАЛАВРИАТ

Объём дисциплины:

  6 зачетных единиц, 216 академических часов, в том числе

контактная работа: лекции – 56 часов практические занятия – 74 часа,

самостоятельная работа – 86 часов.

 

Экзаменационные вопросы

1. Дифференциальные уравнения первого порядка. Решение. Поле направлений. Интегральные кривые. Задача Коши. Локальная единственность. Симметричная форма уравнения. Приближенное построение интегральных кривых с помощью изоклин.
2. Физические и геометрические задачи, приводящие к дифференциальным уравнениям.

3.Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными. Теорема существования и единственности решения задачи Коши.

4. Однородные уравнения первого порядка. Теорема существования и

единственности. Гомотетичность интегральных кривых.

5. Линейные уравнения первого порядка. Теорема об общем решении. Метод вариации постоянных.
6. Уравнения в полных дифференциалах. Признак уравнения в полных дифференциалах. Интегрирующий множитель.
7. Уравнения неразрешенные относительно производной. Задача Коши. Теорема существования и единственности решения задачи Коши.
8. Интегрирование методом введения параметров. Уравнения Лагранжа и Клеро.
9. Особые точки уравнения F(x,y,y')=0. Дискриминантное множество.
10. Теорема Пикара. Доказательство существования решения.
11. Теорема Пикара. Доказательство единственности решения.
12. Оценка отклонения n-го последовательного приближения от решения.
13. Лемма Гронуолла.
14. Продолжаемые и непродолжаемые решения. Продолжаемость решения заданного на отрезке. Теорема о существовании непродолжаемого решения.
15. Необходимые и достаточные условия непродолжаемости решений.
16. Теорема о существовании решения на (а,b).
17. Дифференциальные уравнения n-го порядка. Решение. Задача Коши. Теорема существования и единственности решения задачи Коши.
18. Линейные уравнения n-го порядка. Теорема существования и единственности решения задачи Коши.
19. Свойства решений линейного однородного уравнения. Теорема об определителе Вронского.
20. Теорема о существовании базиса решений линейного однородного уравнения. Теорема об общем решении.
21. Линейные уравнения n-го порядка с постоянными коэффициентами. Теорема об общем решении. Формула смещения.
22. Линейные уравнения n-го порядка с постоянными коэффициентами и правой частью квазимногочленом.
23. Теорема об общем решении линейного неоднородного уравнения. Метод вариации постоянных.

24 Системы обыкновенных дифференциальных уравнений. Нормальная форма системы. Решение. Поле направлений. Интегральная кривая. Задача Коши.

25. Вектор-функции и их свойства. Лемма об интегральном неравенстве.
26. Условие Липшица. Достаточные условия выполнения условия Липшица.
27. Теорема Пикара-Линделефа.
28. Линейные системы дифференциальных уравнений. Теорема существования и единственности.
29. Свойства решений линейных однородных систем. Теорема об определителе Вронского.
30. Теорема о существовании базиса решений линейных однородных систем.

Теорема об общем решении.

31. Формула Остроградского-Лиувилля для систем и уравнений.
32. Фундаментальная матрица линейной системы. Теорема о фундаментальной матрице.
33. Линейные неоднородные системы. Теорема об общем решении. Метод вариации постоянных.
34. Линейные однородные системы с постоянными коэффициентами ( случай

простых собственных чисел матрицы). 

35. Норма матрицы и ее свойства. Экспонента матрицы.
36. Фундаментальная матрица системы с постоянными коэффициентами.
37. Нормальная жорданова форма матрицы. Практическое вычисление экспоненты.
38. Автономные системы. Свойства решений автономных систем.
39. Первые интегралы автономных систем. Теорема о первых интегралах.
40. Теорема о выпрямлении векторного поля.

41.Устойчивость решений по Ляпунову. Устойчивость решений линейных автономных систем.

42. Лемма Ляпунова. Теорема об устойчивости по первому приближению.

 

  Список литературы.

Основная 

1. Петровский И.Г. Лекции по теории обыкновенных дифференциальных уравнений. «Либроком», 2009.
2. Эльсгольц Л.Э. Дифференциальные уравнения. ЛКИ, 2008.
3. Арнольд В.И. Обыкновенные дифференциальные уравнения. МЦМНО, 2012.
4. Филиппов А.В. Введение в теорию дифференциальных уравнений. М., URSS, 2007.
5. Филиппов А.В. Сборник задач по дифференциальным уравнениям. Москва-Ижевск: НИЦ Регулярная и хаотическая динамика, 2005.

 

 Дополнительная 

1. Агафонов С.А., Герман А.Д., Муратова Т.В. Дифференциальные уравнения. М., издательство МГТУ им. Н.Э.Баумана, 2006.
2. Боярчук А.К., Головач Г.П. Дифференциальные уравнения в примерах и задачах. М.: Эдиториал УРСС, 2001.

Программное обеспечение    Пакет MATLAB.

 

Математика в истории мировой культуры

Направление подготовки

02.03.03 Математическое обеспечение и администрирование информационных систем

Профиль бакалавриата      Математические основы информатики

Для студентов  2 курса бакалавриата

 Форма обучения  Очная

 

Курс «Математика в истории мировой культуры» носит не  узкоспециальный, а общекультурный характер и призван познакомить студентов с развитием важнейших математических идей и представлений в новое время, продемонстрировать связь этих идей с мировым культурным процессом. Курс не содержит сложных и громоздких доказательств. Основное внимание уделяется истории развития базовых математических понятий в течение последних трехсот лет, демонстрируется принципиальное единство математики и ее органическая связь с естественными науками и философией.

Объём дисциплины:

  3 зачетные единицы, 108 академических часов, в том числе

контактная работа: лекции – 36 часов, 

самостоятельная работа – 72 часа.

Перечень вопросов к зачету

1. Основные построения циркулем и линейкой.
2. Числовые поля. Числа, допускающие построение.
3. Задачи о трисекции угла, об удвоении куба, о квадратуре круга.
4. Неразрешимость классических задач на построение.
5. Формула Эйлера для выпуклых многогранников.
6. Теорема о типах правильных многогранников.
7. Задача о четырех красках.
8. Доказательство теоремы о пяти красках.
9. Счетные множества. Основные теоремы о счетных множествах.
10.  Существование несчетного числового множества.
11.  Множества мощности континуум.
12.  Континуум-гипотеза.
13.  Доклад Гильберта на 2-м всемирном математическом конгрессе.
14.  7-ая проблема Гильберта.
15.  10-я проблема Гильберта.
16.  Гипотеза Римана.
17.  Гильбертовы пространства. Неравенства Гельдера и Минковского.
18.  Теорема Пифагора. Ортонормированные базисы.
19.  Неравенство Бесселя. Ряды Фурье в гильбертовых пространствах.
20.  Разложение функции в ряд по ступенчатым функциям. Математические основы цифровой передачи данных.

Литература

 основная 

1. Р.Курант, Г.Роббинс Что такое математика, МЦНМО, 2010.
2. А.А.Болибрух Проблемы Гильберта (100 лет спустя) , МЦНМО, 2012.      

 дополнительная 

1. Ю.В.Матиясвич Десятая проблема Гильберта. М.: Наука, 1993.
2. П.С.Александров Проблемы Гильберта, М.: Исфара, 2000.