Я читаю следующие основные курсы:
1. Функциональный анализ.
2. Уравнения в частных производных.
3. Дифференциальные уравнения.
4. Математика в истории мировой культуры.
Специальные курсы:
1. Обобщенные функции.
2. Пространства Соболева.
3. Ортогональные полиномы.
4. Теория операторов.
Руковожу курсовыми работами, выпускными работами бакалавров, магистерскими диссертациями.
Функциональный анализ
Направление подготовки
02.03.03 Математическое обеспечение и администрирование информационных систем
Профиль бакалавриата Математические основы информатики
Для студентов 3 курса бакалавриата
Форма обучения Очная
Курс «Функциональный анализ» – традиционная и важная часть образования математика. Функциональный анализ стал языком многих разделов математики во второй половине 20-го столетия, и знакомство с его основными идеями и методами необходимо для формирования профессионала-математика.
Объём дисциплины:
5 зачетных единиц, 180 академических часов, в том числе
контактная работа: лекции – 68 часов, практические занятия – 68 часов, самостоятельная работа – 44 часа.
Перечень вопросов для подготовки к экзамену
- Мера Лебега линейных множеств.
- Аддитивность меры Лебега.
- Кольцо измеримых множеств.
- Измеримые функции и их свойства.
- Сходимость последовательностей измеримых функций.
- Теоремы Лузина и Егорова.
- Интеграл Лебега. Связь интеграла Лебега с интегралом Римана.
- Интеграл Лебега от неограниченных функций. Суммируемые функции.
- Пространства интегрируемых функций.
- Неравенства Гельдера и Минковского.
- Метрические пространства.
- Линейные нормированные пространства.
- Линейные ограниченные операторы.
- Обратимость линейных операторов.
- Линейные ограниченные функционалы.
- Теорема Хана-Банаха.
- Гильбертовы пространства. Ортогональные системы.
- Ряды Фурье а гильбертовых пространствах. Неравенство Бесселя.
- Линейные ограниченные функционалы в гильбертовых пространствах.
- Теорема Ф.Рисса о представлении линейного непрерывного функционала над гильбертовым пространством.
Литература
основная
- Колмогоров А. Н., Фомин С. В. Элементы теории функций и функционального анализа, М.: ФИЗМАТЛИТ, 2004.
- Люстерник Л.А., Соболев В.И. Краткий курс функционального анализа, М., Лань, 2009.
дополнительная
- Натансон И.П. Теория функций вещественной переменной, М.: Лань, 2008.
УРАВНЕНИЯ С ЧАСТНЫМИ ПРОИЗВОДНЫМИ и ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ
Направление подготовки
02.03.03 Математическое обеспечение и администрирование
информационных систем
Профиль подготовки Математические основы информатики
Для студентов 4 курса
Форма обучени Очная
Объём дисциплины:
4 зачетных единицы, 144 академических часа, в том числе
контактная работа: лекции – 58 часов, практические занятия – 58 часов,
самостоятельная работа – 28 часов.
Перечень вопросов для подготовки к экзамену
- Вывод уравнений колебаний струны, теплопроводности, Лапласа; физическая интерпретация краевых и начально-краевых задач для них.
- Классификация уравнений второго порядка. Инвариантность типа уравнения при заменах независимых переменных.
- Характеристики уравнений второго порядка, их инвариантность при заменах независимых переменных. Примеры характеристик для уравнений колебаний струны, теплопроводности.
- Уравнения с частными производными первого порядка. Характеристики уравнений второго порядка в случае двух независимых переменных.
- Приведение уравнения гиперболического типа к каноническому виду в случае двух независимых переменных.
- Приведение уравнений параболического и эллиптического типов к каноническому виду в случае двух независимых переменных.
- Канонический вид линейного уравнения второго порядка, приведение уравнения с постоянными коэффициентами к каноническому виду в случае n переменных.
- Задача Коши для уравнения с частными производными. Теорема Ковалевской.
- Волновое уравнение. Постановка для него задачи Коши и начально-краевых задач, их физический смысл.
- Единственность решения первой и второй начально-краевых задач для волнового уравнения. Интеграл энергии.
- Единственность решения задачи Коши для волнового уравнения.
- Формула Даламбера (решение задачи Коши для уравнения колебаний струны).
- Формула Кирхгоффа (решение задачи Коши для однородного волнового уравнения в трехмерном пространстве).
- Формула Пуассона (решение задачи Коши для однородного волнового уравнения на плоскости).
- Уравнение теплопроводности. Постановка для него задачи Коши и начально-краевых задач, их физический смысл.
- Решение задачи Коши для уравнения теплопроводности и для волнового уравнения с аналитическими начальными условиями с помощью степенных рядов.
- Теорема о максимуме и минимуме для однородного уравнения теплопроводности.
- Единственность решения первой начально-краевой задачи и задачи Коши для уравнения теплопроводности.
- Обобщенные функции: определение, d-функция, дифференцирование обобщенных функций. Обобщенное решение дифференциального уравнения, фундаментальное решение дифференциального оператора.
- Преобразование Фурье обобщенных функций. Инвариантность пространства основных функций относительно преобразования Фурье, фурье-образ производной обобщенной функции, производная фурье-образа. Примеры: фурье-образ d-функции и ее производной.
- Фундаментальное решение уравнения теплопроводности (вывод с помощью преобразования Фурье).
- Свойства фундаментального решения уравнения теплопроводности.
- Фундаментальное решение уравнения теплопроводности и решение с его помощью задачи Коши для уравнения теплопроводности.
- Задача Штурма - Лиувилля, возникающая при решении методом Фурье начально-краевых задач. Свойства собственных чисел и собственных функций задачи Штурма - Лиувилля.
- Решение методом Фурье начально-краевых задач для уравнений гиперболического и параболического типов (без доказательства свойств собственных чисел и функций задачи Штурма - Лиувилля).
- Постановка краевых задач для уравнений Лапласа и Пуассона. Гармонические функции, примеры.
- Фундаментальное решение уравнения Лапласа.
- Гармонические функции. Интегральное представление гармонических функций.
- Теоремы о среднем для гармонических функций.
- Теорема о максимуме и минимуме для гармонических функций.
- Единственность решения внутренней задачи Дирихле для уравнения Пуассона. Необходимое условие разрешимости и единственность (с точностью до аддитивной постоянной) решения внутренней задачи Неймана.
- Решение методом Фурье краевых задач для уравнения Лапласа в круге и кольце.
- Решение задачи Дирихле для уравнения Лапласа в 3-мерном шаре.
- Решение задачи Дирихле для уравнения Лапласа в 2-мерном круге.
- Существование решения внутренней задачи Дирихле для уравнения Лапласа в 2-мерной области, сведение ее к задаче в круге с помощью конформного отображения.
- Объемный (ньютоновский) потенциал, его существование, непрерывность, гармоничность в области без зарядов. Объемный потенциал, как решение уравнения Пуассона (Лапласа).
- Поверхностные потенциалы простого и двойного слоя, их гармоничность.
- Поверхностные потенциалы, предельные значения поверхностного потенциала двойного слоя.
Литература
основная
- Ильин А.М. Уравнения математической физики. М.: Физматлит, 2009.
- Могилевский И.Ш., Шаров Г.С. Сборник задач по уравнениям с частными производными. Учебное пособие, Тверь, ТвГУ, 2004.
дополнительная
- Арнольд В.И. Лекции об уравнениях с частными производными. М.: ФАЗИС. 1999.
- Владимиров В.С. Уравнения математической физики. М.: ФИЗМАТЛИТ. 2000
- Тихонов А.Н., Самарский А.А. Уравнения математической физики. М.: Наука. 1977.
- Кошляков Н.С., Глинэр Э.Б., Смирнов М.М. Уравнения в частных производных математической физики. М.: Высшая школа. 1970.
- Будак Б.М., Самарский А.А., Тихонов А.Н. Сборник задач по математической физике. М.: Наука. 1980.
- Михлин С.Г. Линейные уравнения в частных производных. М.: Высшая школа. 1977.
Программное обеспечение Пакет MATLAB.
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
Направление подготовки
02.03.03 Математическое обеспечение и администрирование
информационных систем
Профиль подготовки Математические основы информатики
Для студентов 2 курса
Форма обучения Очная
Уровень высшего образования БАКАЛАВРИАТ
Объём дисциплины:
6 зачетных единиц, 216 академических часов, в том числе
контактная работа: лекции – 56 часов практические занятия – 74 часа,
самостоятельная работа – 86 часов.
Экзаменационные вопросы
- Дифференциальные уравнения первого порядка. Решение. Поле направлений. Интегральные кривые. Задача Коши. Локальная единственность. Симметричная форма уравнения. Приближенное построение интегральных кривых с помощью изоклин.
- Физические и геометрические задачи, приводящие к дифференциальным уравнениям.
3.Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными. Теорема существования и единственности решения задачи Коши.
- Однородные уравнения первого порядка. Теорема существования и
единственности. Гомотетичность интегральных кривых.
- Линейные уравнения первого порядка. Теорема об общем решении. Метод вариации постоянных.
- Уравнения в полных дифференциалах. Признак уравнения в полных дифференциалах. Интегрирующий множитель.
- Уравнения неразрешенные относительно производной. Задача Коши. Теорема существования и единственности решения задачи Коши.
- Интегрирование методом введения параметров. Уравнения Лагранжа и Клеро.
- Особые точки уравнения F(x,y,y')=0. Дискриминантное множество.
- Теорема Пикара. Доказательство существования решения.
- Теорема Пикара. Доказательство единственности решения.
- Оценка отклонения n-го последовательного приближения от решения.
- Лемма Гронуолла.
- Продолжаемые и непродолжаемые решения. Продолжаемость решения заданного на отрезке. Теорема о существовании непродолжаемого решения.
- Необходимые и достаточные условия непродолжаемости решений.
- Теорема о существовании решения на (а,b).
- Дифференциальные уравнения n-го порядка. Решение. Задача Коши. Теорема существования и единственности решения задачи Коши.
- Линейные уравнения n-го порядка. Теорема существования и единственности решения задачи Коши.
- Свойства решений линейного однородного уравнения. Теорема об определителе Вронского.
- Теорема о существовании базиса решений линейного однородного уравнения. Теорема об общем решении.
- Линейные уравнения n-го порядка с постоянными коэффициентами. Теорема об общем решении. Формула смещения.
- Линейные уравнения n-го порядка с постоянными коэффициентами и правой частью квазимногочленом.
- Теорема об общем решении линейного неоднородного уравнения. Метод вариации постоянных.
24 Системы обыкновенных дифференциальных уравнений. Нормальная форма системы. Решение. Поле направлений. Интегральная кривая. Задача Коши.
- Вектор-функции и их свойства. Лемма об интегральном неравенстве.
- Условие Липшица. Достаточные условия выполнения условия Липшица.
- Теорема Пикара-Линделефа.
- Линейные системы дифференциальных уравнений. Теорема существования и единственности.
- Свойства решений линейных однородных систем. Теорема об определителе Вронского.
- Теорема о существовании базиса решений линейных однородных систем.
Теорема об общем решении.
- Формула Остроградского-Лиувилля для систем и уравнений.
- Фундаментальная матрица линейной системы. Теорема о фундаментальной матрице.
- Линейные неоднородные системы. Теорема об общем решении. Метод вариации постоянных.
- Линейные однородные системы с постоянными коэффициентами ( случай
простых собственных чисел матрицы).
- Норма матрицы и ее свойства. Экспонента матрицы.
- Фундаментальная матрица системы с постоянными коэффициентами.
- Нормальная жорданова форма матрицы. Практическое вычисление экспоненты.
- Автономные системы. Свойства решений автономных систем.
- Первые интегралы автономных систем. Теорема о первых интегралах.
- Теорема о выпрямлении векторного поля.
41.Устойчивость решений по Ляпунову. Устойчивость решений линейных автономных систем.
- Лемма Ляпунова. Теорема об устойчивости по первому приближению.
Список литературы.
Основная
- Петровский И.Г. Лекции по теории обыкновенных дифференциальных уравнений. «Либроком», 2009.
- Эльсгольц Л.Э. Дифференциальные уравнения. ЛКИ, 2008.
- Арнольд В.И. Обыкновенные дифференциальные уравнения. МЦМНО, 2012.
- Филиппов А.В. Введение в теорию дифференциальных уравнений. М., URSS, 2007.
- Филиппов А.В. Сборник задач по дифференциальным уравнениям. Москва-Ижевск: НИЦ Регулярная и хаотическая динамика, 2005.
Дополнительная
- Агафонов С.А., Герман А.Д., Муратова Т.В. Дифференциальные уравнения. М., издательство МГТУ им. Н.Э.Баумана, 2006.
- Боярчук А.К., Головач Г.П. Дифференциальные уравнения в примерах и задачах. М.: Эдиториал УРСС, 2001.
Программное обеспечение Пакет MATLAB.
Математика в истории мировой культуры
Направление подготовки
02.03.03 Математическое обеспечение и администрирование информационных систем
Профиль бакалавриата Математические основы информатики
Для студентов 2 курса бакалавриата
Форма обучения Очная
Курс «Математика в истории мировой культуры» носит не узкоспециальный, а общекультурный характер и призван познакомить студентов с развитием важнейших математических идей и представлений в новое время, продемонстрировать связь этих идей с мировым культурным процессом. Курс не содержит сложных и громоздких доказательств. Основное внимание уделяется истории развития базовых математических понятий в течение последних трехсот лет, демонстрируется принципиальное единство математики и ее органическая связь с естественными науками и философией.
Объём дисциплины:
3 зачетные единицы, 108 академических часов, в том числе
контактная работа: лекции – 36 часов,
самостоятельная работа – 72 часа.
Перечень вопросов к зачету
- Основные построения циркулем и линейкой.
- Числовые поля. Числа, допускающие построение.
- Задачи о трисекции угла, об удвоении куба, о квадратуре круга.
- Неразрешимость классических задач на построение.
- Формула Эйлера для выпуклых многогранников.
- Теорема о типах правильных многогранников.
- Задача о четырех красках.
- Доказательство теоремы о пяти красках.
- Счетные множества. Основные теоремы о счетных множествах.
- Существование несчетного числового множества.
- Множества мощности континуум.
- Континуум-гипотеза.
- Доклад Гильберта на 2-м всемирном математическом конгрессе.
- 7-ая проблема Гильберта.
- 10-я проблема Гильберта.
- Гипотеза Римана.
- Гильбертовы пространства. Неравенства Гельдера и Минковского.
- Теорема Пифагора. Ортонормированные базисы.
- Неравенство Бесселя. Ряды Фурье в гильбертовых пространствах.
- Разложение функции в ряд по ступенчатым функциям. Математические основы цифровой передачи данных.
Литература
основная
- Р.Курант, Г.Роббинс Что такое математика, МЦНМО, 2010.
- А.А.Болибрух Проблемы Гильберта (100 лет спустя) , МЦНМО, 2012.
дополнительная
- Ю.В.Матиясвич Десятая проблема Гильберта. М.: Наука, 1993.
- П.С.Александров Проблемы Гильберта, М.: Исфара, 2000.